Studienarbeit 177

Studie zur Modifikation der Stokesfunktion.

von Thomas Maximilian Grombein

Aufgabensteller: Prof. Dr.-Ing. B. Heck
Betreuer: Dr.-Ing. K. Seitz
Interne Bibliotheksnummer: 177

 

Diese Studienarbeit war in die Projektstudie zur regionalen Quasigeoidberechnung von Baden-Württemberg des Geodätischen Instituts der Universität Karlsruhe (TH) eingebettet. Innerhalb dieses Projekts ist für den Bereich 7° ≤ λ ≤ 11°; 47° ≤ φ ≤ 50° eine gravimetrische Quasigeoidlösung in einer Auflösung von 1´x1´ mit cm-Genauigkeit zu berechnen. Die Bestimmung der regionalen Lösung des Quasigeoids wird nach dem Verfahren der dreistufigen spektralen Zerlegung des Schwerefeldes mit der sogenannten “Remove-Compute-Restore“-Technik (RCR) durchgeführt. Die spektrale Zerlegung wird dabei im Remove-Step auf die Schwereanomalie Δg und im Restore-Step auf die zu bestimmende Höhenanomalie ζ angewendet. Hierbei ist die nach Molodenskii definierte Schwereanomalie in jedem Aufpunkt in einen lang-, kurz- und mittelwelligen Anteil zu zerlegen:

 

 

Der langwellige Anteil wird dabei durch ein Kugelfunktionsmodell dargestellt. Der kurzwellige Anteil wird der Topographie zugeordnet und durch das „Residual Terrain Modelling“ (RTM) auf der Grundlage von digitalen Geländemodellen berechnet. Mit dem Ansatz des RCR können im Restore-Step konsistente lang- und kurzwellige Anteile des Störpotentials berechnet werden.

Der mittelwellige Anteil an der Schwereanomalie resultiert durch Abzug der berechneten lang- und kurzwelligen Anteile von der in jedem Aufpunkt vorliegenden Schwereanomalie. Durch Auswertung der Integralformel von Stokes können im Compute-Step die mittelwelligen Schwereanomalien in mittelwellige Höhenanomalien transformiert werden:

 

 

Die unter dem Integral als Kern auftretende Funktion S(Ψ) wird als Stokesfunktion bezeichnet und lässt sich sowohl in geschlossener Form als auch in einer Reihenentwicklung nach Legendreschen Polynomen ausdrücken:

Da aufgrund der regionalen Ausdehnung des Berechnungsgebietes nicht über die gesamte Erdoberfläche σ integriert wird, ist die Stokesfunktion zu modifizieren, um den auftretenden Abbruchfehler (Omission Error) zu minimieren. Die modifizierte Stokesfunktion wird als Kernfunktion K(Ψ) bezeichnet. Der Integrationsradius Ψc (Kappenradius einer sphärischen Kugelkappe) ist an die regionale Ausdehnung des Integrationsbereichs σc anzupassen:

 

 

Im Fokus dieser Studienarbeit stand die Untersuchung und Anwendung von unterschiedlichen Modifizierungsverfahren bei der Feldtransformation der mittelwelligen Schwereanomalien in dem durch die Projektstudie vorgegebenen Kerngebiet.

Im ersten Teil der Arbeit wurden sechs publizierte, deterministische Modifikationsverfahren vorgestellt. Die Verfahren nach Meissl, Wong & Gore sowie Heck & Grüninger zielen dabei auf eine schnellere Konvergenz des Abbruchfehlers zu Null ab. Um dies zu erreichen wird die Kernfunktion durch Wahl von Modifikationsparametern verändert, damit sie an der Stelle des Kappenradius Ψc den Wert Null annimmt. Die Verfahren nach Molodenskii, Vanícek & Kleusberg sowie Featherstone et al. haben eine grundsätzliche Minimierung des Abbruchfehlers im Sinne der Methode der kleinsten Quadrate zum Ziel. Für einen festgelegten Kappenradius Ψc werden hierzu lineare Gleichungsysteme aufgestellt, aus deren Lösung Koeffizienten zur Festlegung der modifizierten Kernfunktionen hervorgehen.

 

Im zweiten Teil dieser Arbeit wurde im Rahmen einer numerischen Studie die Feldtransformation rechentechnisch mittels der Programmiersprache C++ umgesetzt und für das Kerngebiet auf einen Datensatz von Schwereanomalien in Mitteleuropa angewandt.

 

Hierbei wurden die beiden Modifikationsvarianten nach Meissl und Wong & Gore verwendet sowie zum Vergleich auch eine Feldtransformation mit unmodifizierter Stokesfunktion durchgeführt. Um eine Aussage über die Abhängigkeit des gewählten Kappenradius treffen zu können, wurden Durchläufe mit verschiedenen Integrationsradien bei ca. 1°, ca. 1.5°, ca. 2°, ca. 2.5° und ca. 3° durchgeführt.

 

 

Anhand der Ergebnisse der resultierenden mittelwelligen Höhenanomalien konnte für das Gebiet von Baden-Württemberg deutlich gezeigt werden, dass durch Verwendung der Modifikationen im Vergleich zur Berechnung mit unmodifizierter Variante eine deutliche Verbesserung und Reduktion des Fehlers erreicht werden konnte. Die Notwendigkeit einer Modifikation der Kernfunktion bei Einschränkung des Integrationsradius konnte somit bestätigt werden.

 

 

Die beiden modifizierten Kernfunktionen liefern signifikant unterschiedliche Beiträge zu den Höhenanomalien. Mit wachsendem sphärischen Radius Ψc des Integrationsgebietes σc wachsen auch die Höhenanomalien systematisch an. Bei beiden Verfahren konnte bei einem maximalen Radius von ca. 3° noch kein konvergenter Zustand erreicht werden, so dass weitere Fehleranteile in den berechneten Höhenanomalien verbleiben. Die Differenzen bezüglich der unterschiedlichen Kernfunktionen als auch der Integrationsradien zeigen einen glatten, langwelligen Verlauf, der z.B. durch einen polynomialen Flächenansatz gut modellierbar zu sein scheint.

Ergebnisse dieser Studienarbeit wurden u.a. auf der Geodätischen Woche 2008 in Bremen in Form eines Poster-Beitrags präsentiert:

Grombein, T. / Seitz, K. / Heck, B.
Modifikation der Stokes-Funktion bei regionaler Quasigeoidbestimmung.
Geodätische Woche 2008, 30.09.-02.10.2008, Bremen.
(Poster als PDF ...)

Ausgewählte Literatur:

Evans, J.D.; Featherstone, W.E. (2000): Improved convergence rates for the truncation error in gravimetric geoid determination. Journal of Geodesy 74 (2), S. 239-248.

Featherstone, W.E.; Evans, J.D.; Olliver, J.G. (1998): A Meissl-modified Vanícek and Kleusberg kernel to reduce the truncation error in gravimetric geoid computations. Journal of Geodesy 72 (3), S. 154-160.

Heck, B.; Grüninger W. (1983): Zur Genauigkeit gravimetrisch bestimmter absoluter und relativer Geoidhöhen. Deutsche Geodätische Kommission, Reihe A, Theoretische Geodäsie, 97.

Heck, B.; Grüninger, W. (1987): Modification of Stokes's integral formula by combining two classical approaches. Proceedings of the XIXth General Assembly of the International Union of Geodesy and Geophysics, Vancouver, Canada.

Heiskanen, W.A.; Moritz, H. (1967): Physical Geodesy. W.H. Freeman & Co., San Francisco.

Jekeli, C. (1981): Modifying Stokes's function to reduce the error of geoid undulation computations. Journal of Geophysical Research 86 (B8), S. 6985-6990.

Smeets, I. (1994): An error analysis of the height anomaly determined by a combination of mean terrestrial gravity anomalies and a geopotential model. Bolletino de Geodesia e Scienze Affini 53 (1), S. 57-96.

de Witte, L. (1967): Truncation errors in the Stokes and Vening-Meinesz formulae for different order spherical harmonic gravity terms. Geophysical Journal of the Royal Astronomical Society 12, S. 449-464.